Lorentz-Gruppe

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Die Lorentz-Gruppe benannt nach Henrik Anton Lorentz stellt eine umstrittene mathematisch-physikalische Struktur dar, die sich auf unterschiedlichen Ebenen der mathematischen Abstraktion präsentiert und vorgibt oder auch zeigt, dass bezüglich der Lorentz-Transformation die Gruppenaxiome erfüllt werden.

Inhaltsverzeichnis

Gruppe

Als Gruppe allgemein wird eine Menge G bezeichnet, auf der eine Verknüpfung # erklärt ist und für die die Gruppenaxiome gelten:

  • G1: Für alle g, h ∈ G gilt die Abgeschlossenheit mit g # h ∈ G.
  • G2: Für alle g, h, j ∈ G gilt das Assoziativgesetz mit (g # h) # j = g # (h # j).
  • G3: Es gibt ein Einselement e ∈ G, so dass für alle g ∈ G die Gleichung e # g = g # e = g gilt.
  • G4: Zu jedem g ∈ G gibt es ein inverses Element g′ ∈ G, so dass die Gleichung g′ # g = g # g′ = e gilt.

Lorentz-Gruppe einfach

Eine einzelne Lorentztransformation ist eine Abbildung LT  : R4R4, welche den Spaltenvektor ( ct, x, y, z ) nach dem transformierten Vektor ( ct′, x′, y′, z′ ) abbildet. Wobei die Abbildungsvorschrift besagt, dass die 4×4-Matrix welche dem Gleichungssystem zugeordnet war mit dem Spaltenvektor ( ct, x, y, z ), d.h. einer 4×1-Matrix, mulitpliziert wird, so dass dieses Produkt dann dem transformierten Vektor ( ct′, x′, y′, z′ ), d.h. einer 4×1-Matrix, entspricht.

Somit:

LT  : R4R4

ct′  = 
x′
y′
z′
  γ     -γβ     0     0  
  -γβ     γ     0     0  
  0     0     1     0  
  0     0     0     1  
ct
x
y
z

Wobei

β =  v     und    γ =  1


c
1 - β2

Die Lorentz-Transformationen unterscheiden sich (sind abhängig) von den Boostgeschwindigkeiten v0, v1 :

LT0  : R4R4

ct′  = 
x′
y′
z′
  γ0     -γ0β0     0     0  
  -γ0β0     γ0     0     0  
  0     0     1     0  
  0     0     0     1  
ct
x
y
z
β0 v0     und    γ =  1


c
1 - β02


und


LT1  : R4R4

ct′′  = 
x′′
y′′
z′′
  γ1     -γ1β1     0     0  
  -γ1β1     γ1     0     0  
  0     0     1     0  
  0     0     0     1  
ct′
x′
y′
z′
β1 v1     und    γ =  1


c
1 - β12

Da die Verknüpfung # zweier LT s als Hintereinanderausführung zu denken ist, kann nunmehr eingefügt werden:

LT10  : R4R4

ct′′  = 
x′′
y′′
z′′
  γ1     -γ1β1     0     0  
  -γ1β1     γ1     0     0  
  0     0     1     0  
  0     0     0     1  
  γ0     -γ0β0     0     0  
  -γ0β0     γ0     0     0  
  0     0     1     0  
  0     0     0     1  
ct
x
y
z


Somit reduziert sich die Verknüpfung # zweier Lorentztransformationen auf die Matrizenmultiplikation, welche anhand eines Beispiels mit 2x2-Matrizen dargestellt werden soll:

Matrizenmultiplikation
Rechenbeispiel
Resultat
ct′′  = 
x′′
y′′
z′′
  γ0γ1(1 + β0β1)     -γ0γ10 + β1)     0     0  
  -γ0γ10 + β1)     γ0γ1(1 + β0β1)     0     0  
  0     0     1     0  
  0     0     0     1  
ct
x
y
z


ct′′ = γ0γ1(1 + β0β1)ct - γ0γ10 + β1)x

x′′ = -γ0γ10 + β1)ct + γ0γ1(1 + β0β1)x

Da jede Lorentztransformation von der mathematischen Struktur gleich bleiben soll, können nachfolgend γ2 und γ2β2 per Koordinatenvergleich bestimmt und danach die Geschwindigkeit v2 berechnet werden:

ct′′= γ2ct - γ2β2x

x′′ = -γ2β2ct + γ2x

Somit würde dann gelten:

γ2β2 = γ0γ1β0 + γ0γ1β1 = γ0γ10 + β1)

γ2 = γ0γ1 + γ0γ1β0β1 = γ0γ1(1 + β0β1)

Bildet man den Quotienten:

γ2β2   =   γ0γ10 + β1)


γ2 γ0γ1(1 + β0β1)

Somit:

β2  =   β0 + β1

1 + β0β1
v2   =   v0/c + v1/c


c 1 + (v0/c)(v1/c)

Also:

v2 =  v0 + v1

1 + v0v1/c2

diese Formel wird als Relativistische Addition bezeichnet und stellt den Rechen-Algorithmus für die Verknüpfung der Gruppenelemente, d.h. der LT s, dar, so dass geschrieben werden kann LT2 = LT1 # LT0.

Somit ergibt sich die Formel für die "Relativistische Addition" auch aus der Verknüpfung von zwei LT s per Matrizenmultiplikation.

Beispiel Prüfung Gruppenaxiome

G1 Abgeschlossenheit

Es soll überprüft werden, ob die Verknüpfung zweier Lorentz-Transformationen mit den Geschwindigkeiten

v0 = c/2 und v1 = c/3

wiederum eine LT ergibt, die Element der Menge G ist.

v2 =  v0 + v1

1 + v0v1/c2


v2 =  c/2 + c/3  =  5c/6  =  5c/6  = 5c/7



1 + (c/2)(c/3)/c2 1 + 1/6 7/6

Somit gilt:

LT(c/2) # LT(c/3) = LT(5c/7) , d.h. LT(5c/7) ∈ G.

und somit gilt in diesem Fall G1 "Abgeschlossenheit".

G2 Assoziativgesetz

Es soll überprüft werden, ob die Verknüpfung dreier Lorentz-Transformationen mit den Geschwindigkeiten

v0 = c/3, v1 = c/2 und v2 = 4c/7

das Assoziativgesetz:

LT(c/3) # (LT(c/2) # LT(4c/7)) = (LT(c/3) # LT(c/2)) # LT(4c/7)

erfüllt.

v12 =  v1 + v2  =  c/2 + 4c/7  = 5c/6


1 + v1v2/c2 1 + (c/2)(4c/7)/c2


v012 =  v0 + v12  =  c/3 + 5c/6  = 21c/23


1 + v0v12/c2 1 + (c/3)(5c/6)/c2



v01 =  v0 + v1  =  c/3 + c/2  = 5c/7


1 + v0v1/c2 1 + (c/3)(c/2)/c2


v012 =  v01 + v2  =  5c/7 + 4c/7  = 21c/23


1 + v01v2/c2 1 + (5c/7)(4c/7)/c2


Also gilt:

LT(c/3) # (LT(c/2) # LT(4c/7)) = LT(21c/23)

und

(LT(c/3) # LT(c/2)) # LT(4c/7) = LT(21c/23)

G3 Neutrales Element

LT(0) = 
  1     0     0     0  
  0     1     0     0  
  0     0     1     0  
  0     0     0     1  


LT(0) # LT(v) = LT(v) # LT(0) = LT(v)


G4 Inverses Element

LT(-v) # LT(v) = LT(0)

Siehe auch

Quellen

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