Differentialgleichung

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Als Differentialgleichung oder auch Differenzialgleichung (abgekürzt DGL oder DG) wird eine mathematische Gleichung bezeichnet, welche die augenblickliche Änderungsgeschwindigkeit eines Zustandes beschreibt.

Inhaltsverzeichnis

Vorwort

Alleine das Wort „Differentialgleichung“ läßt normalerweise Jedermann in Ehrfurcht erschauern. Der Grund hierfür ist die Vorstellung, daß der Umgang mit Differentialgleichungen oder gar Differentialgleichungssystemen etwas mit „höherer“ Mathematik zu tun hat. Genau das Gegenteil ist tatsächlich der Fall. Nur dann, wenn sich die Mathematik versucht der Differentialgleichungen anzunehmen, werden hohe mathematische Kenntnisse nötig sein, um die im allgemeinen mathematisch unlösbaren Differentialgleichungen als prinzipiell lösbar hinzustellen. Dennoch kann niemals eine "konkrete" Lösung angegeben werden. Man hat nach vielen Seiten Rechnung es nur geschafft, die gesuchte unbekannte Größe "x" in eine andere noch zu bestimmende Größe "y" umzuwandeln, welche man ebenfalls nicht mathematisch exakt berechnen kann. Der Anspruch der Mathematik ist nämlich die Exaktheit der Lösung. Im Falle einer Differentialgleichung gelingt dies nur im allereinfachsten Fall, der jedoch niemals in der Natur vorkommt. Aus diesem Grund ist es von vorneherein geradezu unsinnig, es mit "höherer" Mathematik zu versuchen. Die Lösung einer allgemeinen Differentialgleichung (DGL) gelingt dann wenigstens näherungsweise, wenn man das Ziel einer "exakten" Lösung aufgibt und sich mit einer Näherungslösung zufrieden gibt, welche jedoch beliebig nahe an die exakte Lösung heranreichen kann. Es ist nur eine Frage des Rechenaufwands. Die Betonung liegt hierbei auf "Rechnen" und dies hat mit Mathematik kaum etwas zu tun. Wir lösen täglich laufend Differentialgleichungen ohne uns dessen überhaupt bewußt zu sein! Wenn wir unsere Hand gezielt zur Kaffeetasse führen und die Finger den Griff umfassen, haben wir bereits tausende Differentialgleichungen im Kopf gelöst!

Früher hat man DGL´s mit Analogrechnern gelöst. Ohne jegliche Mathematik. Heute nimmt man hierfür Papier und Bleistift oder auch einen Rechner und kann die DGL´s auch digital lösen, also regelrecht berechnen.

Was ist eine Differentialgleichung?

Eine DGL beschreibt die augenblickliche Änderungsgeschwindigkeit eines Zustandes, wobei diese Änderungsgeschwindigkeit vom augenblicklichen Istzustand abhängig ist. Den augenblicklichen Istzustand kennt man jedoch. Wenn man jedoch die augenblickliche Änderungsgeschwindigkeit kennt, kann man für einen kleinen Zeitraum prognostizieren, wie der Zustand nach diesem kleinen Zeitraum sein wird. Für diesen neuen Zeitpunkt bestimmt man wiederum die nun vorhandene neue zustandsabhängige Änderungsgeschwindigkeit und kann für den nächsten Zeitpunkt eine Prognose abgeben. Wenn man die Zeiträume von Prognose zu Prognose gegen Null streben läßt, erhält man eine exakte Lösung. Allerdings wird der Rechenaufwand entsprechend groß. Je nach gewünschter Genauigkeit kann man die Schrittweite anpassen.

Mathematisch kann jede beliebige Differentialgleichung und auch Differentialgleichungssystem immer auf nachfolgende Urform zurückgeführt werden. Hierbei steht "Z" für den Zustand und Zpunkt für die Änderungsgeschwindigkeit dieses Zustandes. "K" bedeutet immer eine die Zustandsänderung bewirkende treibende resultierende Kraft und "C" eine immer vorhandene Trägheitseigenschaft des Systems. Ob es sich bei der treibenden Kraft um eine Kraft, Temperaturdifferenz, Konzentrationsunterschiede oder sonstige Größen handelt, ist einerlei. Diese Urform einer DGL geht auf Newton und Leibnitz zurück:

Zpunkt = K / C

Zpunkt kann auch als dZ/dt geschrieben werden, also die Ableitung des Zustandes nach der Zeit und dies bedeutet die Geschwindigkeit der Zustandsänderung. Dann heißt die DGL:

dZ/dt = K / C

In Worten:

Die Geschwindigkeit, mit welcher sich ein Zustand ändert, ist proportional einer resultierenden "treibenden Kraft" und umgekehrt proportional einer hemmenden Kapazität (Trägheit).


Diese Urform einer DGL ist gleichzeitig diejenige, welche man sofort "gefühlsmäßig" ermitteln kann, weil sie immer die ursächliche Wirkung beinhaltet.

Lösung der DGL

Für einen kleinen Zeitraum dt kann dann auch so geschrieben werden:

dZ = K / C * dt

Dann ergibt sich ein neuer Zustand nach der Zeit dt von:

Zneu = Zalt + dZ

Der erreichte Zustand nach einer längeren Zeit entspricht der Summation der vielen dZ. In der Mathematik bezeichnet man das als "Integrieren" und integriert wird letztlich die Ableitung der jeweiligen Größe. Für obige Grundgleichung kann auch eine mathematisch exakte Lösung explizit angegeben werden. Aber nur dann, wenn das zugrundeliegende System elementar einfach ist und dies ist niemals der Fall. Deshalb wird hier die Lösung bewußt nicht beschrieben.

Beispiele

Hier wird ein Beispiel gebracht, welches nach und nach immer "schwieriger" werden wird, weil immer mehr dabei berücksichtigt werden wird. Am Anfang wäre es noch mathematisch exakt lösbar. Aber nachfolgend wird es immer schwieriger bis eben vollkommen unmöglich. Es handelt sich hierbei um den senkrechten Fall eines Steines im Schwerefeld der Erde. Es wird bewußt sehr grob und primitiv gerechnet und keinerlei verbessernde Mathematik angewandt, obwohl bereits einfachste Maßnahmen ein viel genaueres Ergebnis erzielen.

1. Fall, ohne Luftwiderstand. Der Stein habe einen Durchmesser von D und seine Masse sei m. Die Starthöhe sei h und die Anfangsgeschwindigkeit sei Z. Die Erdbeschleunigung sei g. Es wird mit einem Zeitschritt dt gerechnet.

Die DGL heißt dann:


dZ/dt = g*m/m = g [Zustand ist die Geschwindigkeit und die Zustandsänderung die Beschleunigung]

dZ = g*dt


2. Fall, mit Luftwiderstand bei gleichbleibender Luftdichte rho. Der Luftwiderstand tritt bremsend in Erscheinung und ist abhängig von der Geschwindigkeit Z, der Querschnittsfläche F = D²pi/4 und dem Luftwiderstandsbeiwert cw und betrage W = cw*F*rho/2*Z². Die Die Faktoren cw*F*rho/2 können zusammengefasst als k bezeichnet werden. Die resultierende Kraft entspricht dann der Differenz der anziehenden Kraft g*m und der bremsenden Luftkraft. Dann ergibt sich:

dZ/dt = (g*m - k*Z²) /m [Beschleunigung]

dZ = (g*m - k*Z²) /m *dt


3. Fall, mit Luftwiderstand und veränderlicher Luftdichte. Die Luftdichte rho ist von der Höhe h abhängig. Man kann nun eine beliebig genaue Formel für die Luftdichte angeben oder hier eine einfachere Formel: rho = 1,2 * exp ( - h/8500 ). Dann erhält man, wenn man k = cw*F/2*1.2 setzt:

dZ/dt = (g*m - k*exp(-h/8500)*Z²) /m [Beschleunigung]

dZ = (g*m - k*exp(-h/8500)*Z²) /m *dt


4. Fall, mit Luftwiderstand und veränderlicher Dichte und mit der Höhe h veränderlicher Gravitationsbeschleunigung. Die Gravitationsbeschleunigung ist proportional zu g * (R/(R+h))², wobei R der Erdradius ist. Damit ergibt sich:

dZ/dt = (g*(R/(R+h))²*m - k*exp(-h/8500)*Z²) /m

dZ = (g*(R/(R+h))²*m - k*exp(-h/8500)*Z²) /m * dt


"Integration" (Summation) der Größen nach jedem Zeitschritt:

DGL-Demo freier Fall durch Erdatmosphäre.PNG

Z = Z + dZ (Geschwindigkeit)

h = h - Z * dt (Höhe)

Zeit = Zeit + dt


5. Fall. mit Luftwiderstand und veränderlicher Dichte und mit der Höhe veränderlicher Gravitationsbeschleunigung und sich verändernder Masse des Steines. Letzteres ist interessant, wenn es sich z.B. um einen Meteoriten handelt, der durch die Luftreibung so erwärmt wird, daß seine Oberfläche abschmilzt und er hierbei sowohl Masse verliert als auch sein Durchmesser sich ändert. Dieses Problem ist bereits extrem komplex! Wir müssen "nur" noch eine Theorie erfinden, welche einigermaßen plausibel dieses Abschmelzen beschreibt. Letztlich stellt man hierfür eine neue DGL für diesen Vorgang auf, welche dann verkürzt so lautet:

dm/dt = Funktion von (m, Z, h, rho, Abstrahlung usw.)

m = m-dm

Kennt man wiederum die Masse m zum Istzeitpunkt, kann man die neuen Werte von Durchmesser und Fläche bestimmen und in der DGL des 4. Falles entsprechend berücksichtigen. Man "weiß" dann auch, wie hell der Meteorit in welcher Höhe leuchtet und falls seine Festigkeit bekannt ist, kann man auch seine Zersplitterung berücksichtigen, welche zugleich eine Lichtexplosion nach sich zieht. All dies kann auch für einen schrägen Fall angewendet werden. In all diesen Beispielfällen wurde immer nur der Wert von K und C in der ursprünglichen Urform der DGL zum jeweiligen Jetztzeitpunkt bestimmt.

Verbesserungen der numerischen Lösung der DGL

Es sind viele Lösungsverfahren bekannt, welche je nach Güte mehr oder weniger große Zeitschritte für eine gegebene Genauigkeit gestatten. Bekannt ist das Runge-Kutta-Verfahren. Von diesem Verfahren gibt es viele Arten, welche sich in der Anzahl der Systemaufrufe für einen Zeitschritt und der Genauigkeit unterscheiden. Obiges Primitivverfahren kann bereits mit einer kleinen Maßnahme verbessert werden:

Im Allgemeinen steigt der Fehler bei einem Verfahren 1. Ordnung, das bedeutet 1 Systemaufruf für einen Schritt, proportional mit dt an. Bei einem Verfahren höherer Ordnung steigt Fehler dagegen nur mit dt/2^(Ordnung-1) an. Bei einem Verfahren 6. Ordnung kann daher für denselben Fehler wie einem Verfahren 1. Ordnung die Schrittweite dt um einen Faktor 2^(6-1) = 32 vergrößert werden. Es gibt auch Verfahren mit automatischer Schrittweitensteuerung, welche einen gewünschten Fehler einzuhalten gestatten. So etwa ein Runge-Kutta-Verfahren 8. Ordnung, bei dem die letzten Systemaufrufe mit auch zur Schrittweitensteuerung herangezogen werden können, sodaß sich letztlich ein Verfahren mit der Fehlerordnung 6 (statt 8) ergibt.

Weitere Beispiele

Beispiel einer DGL aus dem astronomischen Bereich, womit das Verhalten von beliebig aufeinander einwirkenden punktförmigen Himmelskörpern beschrieben und berechnet werden kann. Normalerweise kann das Verhalten eines kugelförmigen Himmelskörpers mit einer radialsymmetrischen Massenverteilung als Punktmasse betrachtet werden. In der Realität trifft dies jedoch nicht zu, da die Himmelskörper durch die Gezeitenkräfte und die Eigenrotation verformt werden, sodaß bei exakten Berechnungen dies berücksichtigt werden muß. Aber für Punktmassen im dreidimensionalem Raum kann nachfolgende Systembeschreibung (das entspricht dem Wesen einer DGL), welche ebenfalls mit Hilfe der Ur-DGL gewonnen wird, berechnet werden. Aus dZ/dt = K/C wird dann einfach b(k) = (G*m(i)*m(k)/r²)/m(k). Das m(k) kürzt sich weg und daher bleibt b(k)=G*m(i)/r² alleine übrig. Diese Betrachtungsweise mündet in die Erkenntnis: Um jeden Körper herrscht ein gravitatives Beschleunigungsfeld, welches nur von seiner eigenen Masse abhängig ist. Da sich das Geschehen im dreidimensionalem Raum abspielt, müssen die Wirkungen für jede Raumrichtung einzeln ermittelt werden. Insgesamt werden daher 6 Differentialgleichungen für einen Himmelskörper aufgestellt und gelöst.

Hier nun eine direkte Übersetzung des DGL-Systems für n Himmelskörper in eine beliebige Rechnersprache. B sind die Beschleunigungen und G die Gravitationskonstante und m die Masse eines Himmelskörpers:


Für k=1 bis n

Beispielrechnung für Erde-Mond-Sonne, wobei die Sonne außerhalb des Bildfeldes nicht mehr sichtbar ist. Gezeigt ist die Ansicht von der Erde aus in X, Y und Z Richtung.

Bx(k)=0

By(k)=0

Bz(k)=0

Für i=1 TO k-1 ! berechne alle Wirkungen der Himmelskörper i auf den Himmelskörper k

r=SQR((X(i)-X(k))^2+(Y(i)-Y(k))^2+(Z(i)-Z(k))^2) ! Bestimmung des Abstandes von k,i

Bx(k)=Bx(k)-G*m(i)/r^3*(X(k)-X(i)) ! Aufsummierung der Beschleunigungswirkung von i auf k in x Richtung

By(k)=By(k)-G*m(i)/r^3*(Y(k)-Y(i)) ! in y Richtung

Bz(k)=Bz(k)-G*m(i)/r^3*(Z(k)-Z(i)) ! in z Richtung

Nächstes i

!Wirkung von i=k auf k wird übersprungen, da dies einer Eigenbewirkung entspricht

Für i=k+1 bis n

r=SQR((X(i)-X(k))^2+(Y(i)-Y(k))^2+(Z(i)-Z(k))^2)

Bx(k)=Bx(k)-G*m(i)/r^3*(X(k)-X(i))

By(k)=By(k)-G*m(i)/r^3*(Y(k)-Y(i))

Bz(k)=Bz(k)-G*m(i)/r^3*(Z(k)-Z(i))

Nächstes i

Nächstes k


Die einzelnen Beschleunigungen B müssen dann nur noch mit einem geeigneten Lösungsverfahren zu neuen Geschwindigkeiten und daraus folgenden neuen Positionen für einen kleinen Zeitschritt dt Summiert bzw. Integriert werden. Mathematisch gesprochen hat man die bekannte 2. Ableitung (Beschleunigung) integriert und damit die 1. Ableitung, nämlich die Geschwindigkeiten erhalten und nach nochmaliger Integration die sichtbaren Positionen erhalten.

All dies gelingt im einfachsten Fall bereits mit dem primitivsten Integrationsverfahren. Diese "kosmische" Differentialgleichung kann mit exakter Mathematik nur bis n=2 gelöst werden. Also zwei Körper, welche sich umkreisen. Das Dreikörperproblem ist mathematisch bereits nicht mehr lösbar. Mit der DGL-Systemdarstellung kann jedoch auch das Verhalten von 10 oder 1000000 Körpern berechnet werden. Zwar nicht genau, aber beliebig genau.


Integrationen (Summierung):

Für i=1 bis n ! Berechnung der Geschwindigkeitsänderungen

dvx(i) = bx(i) * dt ! Geschwindigkeitsänderung in x-Richtung

dvy(i) = by(i) * dt ! in y-Richtung

dvz(i) = bz(i) * dt ! in z-Richtung

Nächstes i


Für i=1 bis n ! Berechnung der neuen Positionen, leicht verbessert

x(i) = x(i) + ( vx(i) + ( vx(i)+dvx(i) ) )/2 *dt ! neue Position x

y(i) = y(i) + ( vy(i) + ( vy(i)+dvy(i) ) )/2 *dt ! neue Position y

z(i) = z(i) + ( vz(i) + ( vz(i)+dvz(i) ) )/2 *dt ! neue Position z

Nächstes i


Für i=1 bis n ! Berechnung der neuen Geschwindigkeiten

vx(i) = vx(i) + dvx(i) ! neue Geschwindigkeit in x-Richtung

vy(i) = vy(i) + dvy(i) ! in y-Richtung

vz(i) = vz(i) + dvz(i) ! in z-Richtung

Nächstes i


Damit sind alle neuen Zustände aller Himmelskörper (Positionen, Geschwindigkeiten) für den Zeitpunkt Zeit + dt bekannt.

Literatur

G. Engeln-Müllges/F.Reutter: Formelsammlung zur numerischen Mathematik

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