Binärsystem

Notiz von Gottfried Wilhelm Leibniz für die Entwicklung des Binärsystems aus dem Jahr 1697

Das Binärsystem – auch Dualsystem genannt – ist ein Zahlensystem, das zur Darstellung von Zahlen nur zwei verschiedene Ziffern benutzt: „0“ und „1“. Dies ist der grundlegende Unterschied zum für Menschen natürlichen Dezimalsystem, bei dem die Ziffern 0 bis 9 verwendet werden.

Bereits im ausgehenden 17. Jahrhundert machte sich der deutsche Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz daran, die Regeln des Binärsystems zu ergründen. Die rechts abgebildete Notiz, die uns bis heute erhalten ist, beweist, daß das Prinzip von Leibniz erfaßt wurde.

Aufgrund seiner Bedeutung in der Digitaltechnik (boolesche Algebra, Rechnertechnik) ist es neben dem Dezimalsystem das wichtigste Zahlensystem. Das Hexadezimalsystem dient der für Menschen übersichtlicheren Darstellung von Binärzahlen, da dort jede Stelle (mit einem Wert von 0–15) vier Bibärstellen entspricht und damit leicht umgewandelt werden kann.

Das Rechnen mit Binärzahlen gestaltet sich einfach, wenn man das zugrundeliegende Prinzip des Dezimalsystems kennt. Zunächst also das System zur Basis 10:

4478 = 4×10³ + 4×10² + 7×10¹ + 8×10⁰
4478 = 4000 + 400 + 70 + 8
4478 = 4478

Nun das System zur Basis 2:

11011010010₂ = 1×2¹⁰ + 1×2⁹ + 0×2⁸ + 1×2⁷ + 1×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰
11011010010₂ = 32768 + 0 + 8192 + 4096 + 0 + 1024 + 512 + 0 + 128 + 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 0
11011010010₂ = 1746

Binärzahlen können schnell sehr lang und unhandlich werden. Adressen und Daten bei 32-Bit-Rechnern sind 32 Stellen lang, Daten von 64-Bit-Rechnern sind 64 Stellen lang, Fließkommazahlen erweiterter Genauigkeit 80 oder 128 Stellen. Deshalb werden Binärzahlen oft und bei mehr als 16 Stellen Länge fast immer hexadezimal dargestellt.

Entsprechungen in den drei meistverwendeten Zahlensystemen

Binär	Dezimal	Hexadezimal
0	0	0
1	1	1
10	2	2
11	3	3
100	4	4
101	5	5
110	6	6
111	7	7
1000	8	8
1001	9	9
1010	10	a
1011	11	b
1100	12	c
1101	13	d
1110	14	e
1111	15	f
10000	16	10
10001	17	11
100000	32	20
10000000	128	80
1000000000	512	200
1100001001	777	309
10101011101011011100101011111110	2880293630	abadcafe
11000000110111101101101110101101	3235830701	c0dedbad
11011110101011011111000000001101	3735941133	deadf00d