Lorentz-Gruppe
Die Lorentz-Gruppe benannt nach Henrik Anton Lorentz stellt eine umstrittene mathematisch-physikalische Struktur dar, die sich auf unterschiedlichen Ebenen der mathematischen Abstraktion präsentiert und vorgibt oder auch zeigt, dass bezüglich der Lorentz-Transformation die Gruppenaxiome erfüllt werden.
Inhaltsverzeichnis
Gruppe
Als Gruppe allgemein wird eine Menge G bezeichnet, auf der eine Verknüpfung # erklärt ist und für die die Gruppenaxiome gelten:
- G1: Für alle g, h ∈ G gilt die Abgeschlossenheit mit g # h ∈ G.
- G2: Für alle g, h, j ∈ G gilt das Assoziativgesetz mit (g # h) # j = g # (h # j).
- G3: Es gibt ein Einselement e ∈ G, so dass für alle g ∈ G die Gleichung e # g = g # e = g gilt.
- G4: Zu jedem g ∈ G gibt es ein inverses Element g′ ∈ G, so dass die Gleichung g′ # g = g # g′ = e gilt.
Lorentz-Gruppe einfach
Eine einzelne Lorentztransformation ist eine Abbildung LT : R4 → R4, welche den Spaltenvektor ( ct, x, y, z ) nach dem transformierten Vektor ( ct′, x′, y′, z′ ) abbildet. Wobei die Abbildungsvorschrift besagt, dass die 4×4-Matrix welche dem Gleichungssystem zugeordnet war mit dem Spaltenvektor ( ct, x, y, z ), d.h. einer 4×1-Matrix, mulitpliziert wird, so dass dieses Produkt dann dem transformierten Vektor ( ct′, x′, y′, z′ ), d.h. einer 4×1-Matrix, entspricht.
Somit:
LT : R4 → R4
|
|
|
Wobei
| β = | v | und γ = | 1 |
| c |
|
Die Lorentz-Transformationen unterscheiden sich (sind abhängig) von den Boostgeschwindigkeiten v0, v1 :
LT0 : R4 → R4
|
|
|
| β0 = | v0 | und γ = | 1 |
| c |
|
und
LT1
: R4 → R4
|
|
|
| β1 = | v1 | und γ = | 1 |
| c |
|
Da die Verknüpfung # zweier LT s als Hintereinanderausführung zu denken ist, kann nunmehr eingefügt werden:
LT10 : R4 → R4
|
|
|
|
Somit reduziert sich die Verknüpfung # zweier Lorentztransformationen auf die Matrizenmultiplikation, welche anhand eines Beispiels mit 2x2-Matrizen dargestellt werden soll:
|
|
|
ct′′ = γ0γ1(1 + β0β1)ct - γ0γ1(β0 + β1)x
x′′ = -γ0γ1(β0 + β1)ct + γ0γ1(1 + β0β1)x
Da jede Lorentztransformation von der mathematischen Struktur gleich bleiben soll, können nachfolgend γ2 und γ2β2 per Koordinatenvergleich bestimmt und danach die Geschwindigkeit v2 berechnet werden:
ct′′= γ2ct - γ2β2x
x′′ = -γ2β2ct + γ2x
Somit würde dann gelten:
γ2β2 = γ0γ1β0 + γ0γ1β1 = γ0γ1(β0 + β1)
γ2 = γ0γ1 + γ0γ1β0β1 = γ0γ1(1 + β0β1)
Bildet man den Quotienten:
| γ2β2 | = | γ0γ1(β0 + β1) |
| γ2 | γ0γ1(1 + β0β1) |
Somit:
| β2 = | β0 + β1 |
| 1 + β0β1 |
| v2 | = | v0/c + v1/c |
| c | 1 + (v0/c)(v1/c) |
Also:
| v2 = | v0 + v1 |
| 1 + v0v1/c2 |
diese Formel wird als Relativistische Addition bezeichnet und stellt den Rechen-Algorithmus für die Verknüpfung der Gruppenelemente, d.h. der LT s, dar, so dass geschrieben werden kann LT2 = LT1 # LT0.
Somit ergibt sich die Formel für die "Relativistische Addition" auch aus der Verknüpfung von zwei LT s per Matrizenmultiplikation.
Beispiel Prüfung Gruppenaxiome
G1 Abgeschlossenheit
Es soll überprüft werden, ob die Verknüpfung zweier Lorentz-Transformationen mit den Geschwindigkeiten
v0 = c/2 und v1 = c/3
wiederum eine LT ergibt, die Element der Menge G ist.
| v2 = | v0 + v1 |
| 1 + v0v1/c2 |
| v2 = | c/2 + c/3 | = | 5c/6 | = | 5c/6 | = 5c/7 |
| 1 + (c/2)(c/3)/c2 | 1 + 1/6 | 7/6 |
Somit gilt:
LT(c/2) # LT(c/3) = LT(5c/7) , d.h. LT(5c/7) ∈ G.
und somit gilt in diesem Fall G1 "Abgeschlossenheit".
G2 Assoziativgesetz
Es soll überprüft werden, ob die Verknüpfung dreier Lorentz-Transformationen mit den Geschwindigkeiten
v0 = c/3, v1 = c/2 und v2 = 4c/7
das Assoziativgesetz:
LT(c/3) # (LT(c/2) # LT(4c/7)) = (LT(c/3) # LT(c/2)) # LT(4c/7)
erfüllt.
| v12 = | v1 + v2 | = | c/2 + 4c/7 | = 5c/6 |
| 1 + v1v2/c2 | 1 + (c/2)(4c/7)/c2 |
| v012 = | v0 + v12 | = | c/3 + 5c/6 | = 21c/23 |
| 1 + v0v12/c2 | 1 + (c/3)(5c/6)/c2 |
| v01 = | v0 + v1 | = | c/3 + c/2 | = 5c/7 |
| 1 + v0v1/c2 | 1 + (c/3)(c/2)/c2 |
| v012 = | v01 + v2 | = | 5c/7 + 4c/7 | = 21c/23 |
| 1 + v01v2/c2 | 1 + (5c/7)(4c/7)/c2 |
Also gilt:
LT(c/3) # (LT(c/2) # LT(4c/7)) = LT(21c/23)
und
(LT(c/3) # LT(c/2)) # LT(4c/7) = LT(21c/23)
G3 Neutrales Element
| LT(0) = |
|
||||||||||||||||||||||||
LT(0) # LT(v) = LT(v) # LT(0) = LT(v)
G4 Inverses Element
LT(-v) # LT(v) = LT(0)
