Lorentz-Transformation
Die Lorentz-Transformation benannt nach Henrik Anton Lorentz (erste Annäherungen 1892, 1895, Vervollständigung 1899, 1904) ist die grundlegende mathematische Struktur der Speziellen Relativitätstheorie; aus ihr folgen u. a. die Längenkontraktion und die Zeitdilatation. Sie stellt eine Transformation der Weg-Koordinaten und der Zeit beim Übergang von einem Inertialsystem I zu einem anderen I′ dar, wobei das zweite System gegenüber dem Ausgangssystem translatorisch gleichförmig bewegt ist. Entscheidend ist bei dieser Transformation, daß das zweite Postulat von Albert Einstein, wonach die Geschwindigkeit des Lichtes in allen Bezugssystemen konstant sei, in der Lorentz-Transformation mathematisch umgesetzt wurde. Bewegen sich die beiden Inertialsysteme mit der Geschwindigkeit v relativ zueinander und zeigen die x- und die x′-Achse in Richtung ihrer relativen Bewegung, so ergibt sich folgendes Gleichungssystem.
Wie Lorentz in einer Fußnote auf S. 198 seines Buchs „Theory of Electrons“ hervorhob, hat der Physiker Woldemar Voigt 1887 die Lorentz-Transformation vorweggenommen.
Inhaltsverzeichnis
Koordinaten-Schreibweise
Vom Ruhesystem I aus betrachtet:
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| y′ = y | ||||||
| z′ = z |
Vom bewegten System I′ aus betrachtet:
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| y = y′ | ||||||
| z = z′ |
Matrix-Schreibweise
Die Lorentz-Transformation wird in unterschiedlichen Stufen der Mathematisierung dargestellt - meistens wird die Matrix-Schreibweise bevorzugt, die nachfolgend anhand der Betrachtung aus dem Ruhesystem heraus in mehreren Schritten beschrieben werden soll.
Aus den oben bereits dargestellten Gleichungen ergibt sich umgeformt:
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| y′ = y | ||||||||||||||
| z′ = z |
Schreibweise als Gleichungssystem mit ct, nach Multiplikation mit Lichtgeschwindigkeit c:
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| y′ = y | ||||||||||||||
| z′ = z |
Schreibweise mit
| β = | v | und γ = | 1 |
| c |
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| ct′ = γct - γβx |
| x′ = -γβct + γx |
| y′ = y |
| z′ = z |
Eine einzelne Lorentztransformation ist eine Abbildung LT : R4 → R4, welche den Spaltenvektor (ct,x,y,z) nach dem transformierten Vektor (ct′,x′,y′,z′) abbildet. Wobei die Abbildungsvorschrift besagt, dass die 4×4-Matrix welche dem Gleichungssystem zugeordnet war mit dem Spaltenvektor (ct,x,y,z), d.h. einer 4×1-Matrix, mulitpliziert wird, so daß dieses Produkt dann dem transformierten Vektor (ct′,x′,y′,z′), d.h. einer 4×1-Matrix, entspricht.
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Herleitung
Ein Lichtstrahl bewegt sich im Inertialsystem I mit der Lichtgeschwindigkeit c und es gilt, dass er die Entfernung x in der Zeit t zurücklegt. Somit:
x = ct
Wenn vom bewegten System I′ aus die Bewegung des Lichtstrahls beschrieben werden soll, dann ist die Geschwindigkeit v, mit der sich I′ bewegt, von der Lichtgeschwindigkeit, mit der sich der Lichtstrahl bewegt, zu subtrahieren. Somit gemäß Figur 1:
x′ = ct - vt = (c - v)t
Der Lichtstrahl bewegt sich also im System I′ nur mit der Geschwindigkeit (c - v). Das steht im Widerspruch zum zweiten Postulat von Albert Einstein, wonach die Geschwindigkeit des Lichtes in allen Systemen konstant sein soll. Aufgrund dieser Betrachtungsweise muss also eine Korrektur stattfinden. Dazu wird ein Korrekturfaktor γ eingeführt. Somit:
x′ = γ(c - v)t = γ(ct - vt)
Somit:
x′ = γ(x - vt)
Da sich das System I′ mit der Geschwindigkeit v relativ zu I bewegen soll, gilt, wenn sich der Lichtstrahl im System I′ bei:
x′ = 0
befindet, der Ort:
x = vt′
Dann gilt ebenfalls die Gleichung:
x = γ(x′ + vt′)
Somit besteht die Aufgabe der Herleitung daraus, γ zu bestimmen. Ein Lichtstrahl muss sich nach dieser Betrachtungsweise im System I und I′ jeweils mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Aus
x = ct
folgt
x′ = ct′
x′ = γ(x - vt) = γ(ct - vt) = γ(ct)(1 - v/c) = γx(1 - v/c)
Entsprechend kann die Ausbreitung des Lichtstrahls in I betrachtet werden:
x = γ(x′ + vt′) = γ(ct′ + vt′) = γ(ct′)(1 + v/c) = γx′(1 + v/c)
Aus das Produkt von x′ und x folgt:
| x′x = | [γx(1 - v/c)] [γx′(1 + v/c)] |
| x′x = | γ2xx′(1 - v2/c2) |
| 1 = | γ2(1 - v2/c2) |
| γ2 = | (1 - v2/c2) |
Also ist der Korrekturfaktor γ:
| γ = | 1 | ||
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So dass gilt:
| x′ = | x - vt | ||
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und
| x = | x′ + vt′ | ||
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Der mathematisch/physikalische Grundfehler der Relativitätstheorie und artverwandter Theorien
Sämtliche modernen Theorien, welche die Lichtgeschwindigkeit im Sinne des Einsteinschen 2. Postulats verwenden, sind falsch. Der Fehler hierbei ist ein sehr einfacher Einheitenfehler in der Lichtgeschwindigkeit, welcher exakt durch einen Inhaltsteil des 2. Postulats bedingt ist. Der wesentliche Teil ist hierbei die Behauptung, daß Licht den Empfänger (Beobachter) immer mit derselben Relativgeschwindigkeit erreicht und dies sei unabhängig vom Bewegungszustand des Empfängers. Würde man diese Eigenschaft auf eine Munition übertragen entspräche dies der Aussage, der Hase werde von der Gewehrkugel immer mit der Geschwindigkeit 300 m/s durchschlagen und dies sei unabhängig davon, ob der Hase auf den Jäger zuläuft oder von ihm wegrennt. Eine solche "Einsteinmunition" könnte nicht einfach mit der Geschwindigkeitskennzeichnung "300 m/s" spezifiziert werden sondern müßte eine weitere Kennzeichnung enthalten, welche mit der Teildefinition des 2. Postulats identisch ist. Dies könnte z.B ein "E" wie Einstein sein. Dann lautet die korrekte Spezifikation dieser Einsteinmunition "300 Em/s". Dann wäre auch klar, daß man Hasengeschwindigkeit und Kugelgeschwindigkeit nicht einfach addieren kann, weil man 10 m/s + 300 Em/s wegen falscher Einheiten grundsätzlich nicht addieren kann. Gleiches gilt dann für alle Formeln Einsteins, wo die Lichtgeschwindigkeit vorkommt. Das "E" läßt sich nicht mehr herauskürzen und daher stehen mathematisch unsinnige Ausdrücke da. Jedoch kann gezeigt werden, daß die Formeln dann mathematisch korrekt und damit berechenbar werden, wenn man aus Einsteins Formeln das "E" extrahiert und dessen ware Eigenschaft errechnet. Es zeigt sich dabei, daß "E" eine reine Zahl sein muß und diese Zahl den Wert unendlich hat! Damit wird auch das 2. Postulat korrekt, aus welchem letztlich der Einflußwert des Lichtes resultiert. Dieser beträgt dann unendlich * Lichtgeschwindigkeit. Die alles beeinflussende Grenzgeschwindigkeit ist daher immer unendlich schnell, also instantan. Dies bedeutet, sämtliche Formeln Einsteins können nach wie vor verwendet werden, wenn "c" auf den Wert unendlich m/s gesetzt wird. Damit erhält man jedoch die klassischen Formeln der Newtonphysik.
Bestimmung der Eigenschaft der Einheit "E"
Dazu kann die Formel für die relativistische Geschwindigkeitsaddition verwendet werden.
w = (u + v) / ( 1 + uv/c² )
Als reine Einheitengleichung dargestellt ergibt sich dann Schritt für Schritt:
m/s = m/s / ( 1 + m/s * m/s / (Em/s*Em/s) )
(m/s)/(m/s) = 1 / ( 1 + m/s * m/s / (Em/s*Em/s) )
1 = 1 / ( 1 + 1 / E² )
1 = 1 + 1 / E²
0 = 1 / E²
E² = 1 / 0
E = sqr( oo )
E = oo
Damit ist "E" eindeutig als Zahl identifiziert und zwar genau plus/minus oo
Damit wird aus obiger relativistischen Geschwindigkeitsaddition:
w = (u + v) / ( 1 + uv/(oo * c²) )
w = (u + v) / ( 1 + 0 )
w = (u + v) / 1
w = u + v
