Arithmetik

Arithmetik (altgr. αριθμητική [τέχνη], arithmētikḗ [téchnē], „die Zahlenmäßige [Kunst]“, zu: arithmētikós = zum Rechnen gehörend, zu: arithmeĩn = zählen, rechnen, zu: arithmós = Zahl; lat. arithmetica), deutsch Zahlenlehre, ist derjenige Teil der Mathematik, der sich mit den aus Einheiten gebildeten Zahlen (unstetigen Größen) und ihren Verbindungen beschäftigt. Im engeren Sinne versteht man darunter die Lehre von der Rechnung mit bestimmten Zahlen, die mit Ziffern geschrieben werden. Man teilt die Arithmetik in die gemeine und die höhere Arithmetik. Die gemeine Arithmetik umfaßt die bekannten vier Spezies der Rechnens in ganzen und gebrochenen Zahlen und ihre praktischen Anwendungen; ferner die Lehre von den Proportionen und Progressionen, die Ausziehung der Quadrat- und Kubikwurzeln, sowie die Rechnung mit Logarithmen.

Die höhere Arithmetik oder Zahlenlehre im engeren Sinne begreift die Untersuchung über die allgemeinen Eigenschaften der Zahlen ohne Rücksicht auf ein bestimmtes Zahlensystem, die Zerfällung der ganzen Zahlen in Faktoren, die Aussonderung der Primzahlen, die Kettenbrüche u. s. w. Ferner unterscheidet man die theoretische Arithmetik, welche die Lehrsätze von den Verbindungen und Eigenschaften der Zahlen aufstellt und wissenschaftlich begründet, von der praktischen (technischen oder bürgerlichen), welche die Regeln und Vorteile der Kunst, sicher und möglichst schnell zu rechnen, mitteilt und schlechthin auch Rechnen genannt wird. Die numerische Arithmetik, bei den alten Griechen Logistik genannt, lehrt die Rechnung mit bestimmten, durch Ziffern ausgedrückten Zahlen, im Gegensatz zur allgemeinen Arithmetik oder Buchstabenrechnung, die sich zur Bezeichnung unbestimmter Zahlen der Buchstaben bedient.

Das Rechnen, das die alten Griechen von den Phöniziern und den Ägyptern gelernt hatten, unterschied sich sehr von dem heute gebräuchlichen und war durch eine umständliche Bezeichnungsart gekennzeichnet, so daß die wissenschaftliche Arithmetik in der Antike auf einer niedrigen Stufe geblieben ist. Nur wenige arithmetische Schriften der Alten sind auf uns gekommen, von Euklides (das 5. und 7. bis 10. Buch seiner Elemente), von Archimedes (Sandrechnung und Kreismessung), von Nikomachus und Diophantus. Den wichtigsten Fortschritt der Arithmetik verdankt man den Indern, welche die Null und die jetzt allgemein gebräuchliche Zahlenschreibung erfunden haben. Auf Grund dieser Erfindung ist von den Arabern im 9. Jahrhundert die heutige Art des Rechnens ausgebildet worden. Nach Einführung der neuen Arithmetik in Italien im 13. Jahrhundert änderte sich allmählich die Gestalt der Arithmetik; erst im 16. Jahrhundert wurde der Gebrauch der Dezimalbrüche verbreiteter. Im 17. Jahrhundert wurden die Logarithmen erfunden, der letzte epochemachende Fortschritt in der Technik des Rechnens (→Algebra).

Zitate

• „Die größte Schärfe des Denkens aber erfordern die Wissenschaften, die es am meisten mit den Prinzipien zu tun haben; denn schärferes Denken braucht man zu den abstrakteren Wissenschaften als zu denen, die mehr konkret sind, wie z.B. zur Arithmetik im Verhältnis zur Geometrie.“ - Aristoteles, Älteste Metaphysik

Literatur

• K. Denecke, K. Todorov: Algebraische Grundlagen der Arithmetik. Heldermann Verlag, Lemgo 1994, ISBN 3-88538-104-4.
• Carl Friedrich Gauß: Untersuchungen über höhere Arithmetik. deutsch herausgegeben von H. Maser, Chelsea Publishing Company, New York 1981.
• Reinhold Remmert, Peter Ullrich: Elementare Zahlentheorie. Birkhäuser Verlag, 2. Auflage 1995, ISBN 3-7643-5197-7.
• Stolz: Vorlesungen über allgemeine Arithmetik. 2 Bde., Leipzig 1885-86

Verweise

• Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie (Mathematik-netz.de)
• Arithmetik und Algebra
• Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl
• Arithmetik (Worterklärung im Duden)